관절 자유도
자유도 (역학)
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물리학에서 기계 시스템의 **자유도(DOF)**는 그 구성 또는 상태를 완전히 지정하는 데 필요한 독립적인 매개변수의 개수입니다. 이 숫자는 기계공학, 구조공학, 항공우주공학, 로봇공학 및 기타 분야에서 물체 시스템을 분석할 때 중요한 속성입니다.
예를 들어, 선로를 따라 움직이는 단일 철도 차량(엔진)의 위치는 1개의 자유도를 가집니다. 왜냐하면 차량의 위치는 선택한 원점으로부터 선로를 따라 이동한 거리를 나타내는 단일 숫자로 완전히 지정될 수 있기 때문입니다. 힌지로 엔진에 연결된 강체 객차들의 기차는 여전히 1개의 자유도만 가집니다. 왜냐하면 엔진 뒤의 객차들의 위치는 선로의 형태에 의해 제약되기 때문입니다.
두 번째 예로, 매우 단단한 서스펜션을 가진 자동차는 평면(평평한 2차원 공간)을 이동하는 강체로 간주될 수 있습니다. 이 물체는 3개의 독립적인 자유도를 가지며, 2개의 이동 성분(함께 그 위치를 지정함)과 1개의 회전 각도(그 방향을 지정함)로 구성됩니다. 스키딩이나 드리프트는 자동차의 3개 독립적인 자유도의 좋은 예입니다.
공간에서 강체의 위치와 방향은 3개의 이동 성분과 3개의 회전 성분으로 정의되며, 이는 물체가 6개의 자유도를 가진다는 것을 의미합니다.
기계 장치의 자유도가 과소 제약되거나 과도 제약되지 않도록 보장하기 위해, 그 설계는 정확 제약 방법을 사용하여 관리될 수 있습니다.
일반 공간 자유도
n차원 강체의 위치는 강체 변환 [T] = [A, d]로 정의되며, 여기서 d는 n차원 이동이고 A는 n × n 회전 행렬입니다. 이것은 n개의 이동 자유도와 n(n − 1)/2개의 회전 자유도를 가집니다. 회전 자유도의 수는 회전군 SO(n)의 차원에서 나옵니다.
비강체 또는 변형 가능한 물체는 많은 미세한 입자들의 집합(무한한 수의 자유도)으로 생각될 수 있으며, 이것은 종종 유한 자유도 시스템으로 근사됩니다. 큰 변위를 포함하는 운동이 연구의 주요 목적일 때(예: 위성의 운동 분석), 변형 가능한 물체는 분석을 단순화하기 위해 강체(또는 심지어 입자)로 근사될 수 있습니다.
시스템의 자유도는 구성을 지정하는 데 필요한 최소 좌표 수로 볼 수 있습니다. 이 정의를 적용하면:
- 평면에서 단일 입자의 경우 두 개의 좌표가 그 위치를 정의하므로 2개의 자유도를 가집니다
- 공간에서 단일 입자는 3개의 좌표를 필요로 하므로 3개의 자유도를 가집니다
- 공간에서 두 입자는 결합된 6개의 자유도를 가집니다
- 공간에서 두 입자가 이원자 분자의 경우처럼 서로 일정한 거리를 유지하도록 제약된 경우, 6개의 좌표는 거리 공식에 의해 정의된 단일 제약 방정식을 만족해야 합니다. 이것은 시스템의 자유도를 5로 줄입니다. 왜냐하면 다른 5개가 지정되면 거리 공식을 사용하여 나머지 좌표를 구할 수 있기 때문입니다.
공간 자유도
단일 강체는 최대 6개의 자유도(6 DOF) 3T3R을 가지며, 3개의 이동 3T와 3개의 회전 3R로 구성됩니다.
오일러 각도도 참조하십시오.
예를 들어, 바다에서 선박의 운동은 강체의 6개 자유도를 가지며 다음과 같이 설명됩니다:
이동과 회전:
- 전진(또는 서징): 앞뒤로 이동
- 측면이동(또는 스웨잉): 좌우로 이동
- 승강(또는 히빙): 위아래로 이동
- 롤 회전: 좌우로 피봇
- 피치 회전: 앞뒤로 기울임
- 요 회전: 좌우로 회전
예를 들어, 비행 중인 비행기의 궤적은 3개의 자유도를 가지며 궤적을 따른 자세는 3개의 자유도를 가져 총 6개의 자유도가 됩니다.
- 비행 및 선박 역학에서의 롤링에 대해서는 각각 롤(항공)과 롤(선박 운동)을 참조하십시오.
- 중요한 파생값은 롤 레이트(또는 롤 속도)로, 항공기가 롤 자세를 변경할 수 있는 각속도이며 일반적으로 초당 도로 표현됩니다.
- 비행 및 선박 역학에서의 피칭에 대해서는 각각 피치(항공)와 피치(선박 운동)을 참조하십시오.
- 비행 및 선박 역학에서의 요잉에 대해서는 각각 요(항공)와 요(선박 운동)를 참조하십시오.
- 중요한 파생값 중 하나는 요 레이트(또는 요 속도)로, 요 회전의 각속도이며 요 레이트 센서로 측정됩니다.
- 또 다른 중요한 파생값은 요잉 모멘트로, 요 회전의 각운동량이며 항공기 역학에서 역 요에 중요합니다.
물리적 제약은 단일 강체의 자유도 수를 제한할 수 있습니다. 예를 들어, 평평한 테이블 위를 미끄러지는 블록은 3 DOF 2T1R을 가지며 2개의 이동 2T와 1개의 회전 1R로 구성됩니다. SCARA와 같은 XYZ 포지셔닝 로봇은 3 DOF 3T의 낮은 이동성을 가집니다.
이동성 공식
이동성 공식은 이러한 물체들을 연결하는 관절에 의해 제약된 강체들의 집합의 구성을 정의하는 매개변수의 수를 계산합니다.
공간에서 움직이는 n개의 강체 시스템은 고정된 프레임에 대해 측정된 6n개의 자유도를 가진다고 생각해보십시오. 이 시스템의 자유도를 계산하기 위해 물체 수에 고정 물체를 포함시켜 이동성이 고정 프레임을 형성하는 물체의 선택과 무관하도록 합니다. 그러면 N = n + 1인 제약되지 않은 시스템의 자유도는
M = 6(N − 1) = 6n
입니다. 고정 물체는 그 자체에 대해 0개의 자유도를 가지기 때문입니다.
이 시스템에서 물체들을 연결하는 관절은 자유도를 제거하고 이동성을 줄입니다. 특히, 힌지와 슬라이더는 각각 5개의 제약을 부과하므로 5개의 자유도를 제거합니다. 관절이 부과하는 제약의 수 c를 관절의 자유도 f의 관점에서 정의하는 것이 편리합니다. 여기서 c = 6 − f입니다. 1자유도 관절인 힌지나 슬라이더의 경우 f = 1이므로 c = 6 − 1 = 5입니다.
결과적으로 n개의 움직이는 링크와 각각 자유도 fi, i = 1, …, j를 가진 j개의 관절로 형성된 시스템의 이동성은 다음과 같이 주어집니다:
M = 6(N − 1 − j) + Σfi
N은 고정 링크를 포함한다는 것을 기억하십시오.
두 가지 중요한 특수 경우가 있습니다: (i) 단순 개방 체인, 그리고 (ii) 단순 폐쇄 체인. 단일 개방 체인은 n개의 관절에 의해 끝과 끝이 연결된 n개의 움직이는 링크로 구성되며, 한쪽 끝이 지면 링크에 연결됩니다. 따라서 이 경우 N = j + 1이고 체인의 이동성은
M = Σfi
입니다.
단순 폐쇄 체인의 경우, n개의 움직이는 링크가 n + 1개의 관절에 의해 끝과 끝이 연결되어 양쪽 끝이 지면 링크에 연결되어 루프를 형성합니다. 이 경우 N = j이고 체인의 이동성은
M = Σfi − 6
입니다.
단순 개방 체인의 예는 직렬 로봇 매니퓰레이터입니다. 이러한 로봇 시스템은 6개의 1자유도 회전 또는 프리즈매틱 관절로 연결된 일련의 링크로 구성되므로 시스템은 6개의 자유도를 가집니다.
단순 폐쇄 체인의 예는 RSSR 공간 4절 링크입니다. 이러한 관절들의 자유도의 합은 8이므로 링크의 이동성은 2입니다. 여기서 자유도 중 하나는 두 S 관절을 연결하는 선을 중심으로 한 커플러의 회전입니다.
평면 및 구면 이동성
모든 물체의 움직임이 평행 평면에 놓이도록 제약되어 평면 링크를 형성하도록 링크 시스템을 설계하는 것이 일반적입니다. 모든 물체가 동심 구면에서 움직이도록 링크 시스템을 구성하여 구면 링크를 형성하는 것도 가능합니다. 두 경우 모두 각 시스템의 링크의 자유도는 이제 6이 아니라 3이며, 관절에 의해 부과되는 제약은 이제 c = 3 − f입니다.
이 경우 이동성 공식은 다음과 같이 주어집니다:
M = 3(N − 1 − j) + Σfi
그리고 특수 경우는 다음과 같습니다:
-
평면 또는 구면 단순 개방 체인, M = Σfi
-
평면 또는 구면 단순 폐쇄 체인, M = Σfi − 3
평면 단순 폐쇄 체인의 예는 평면 4절 링크로, 4개의 1자유도 관절을 가진 4절 루프이므로 이동성 M = 1을 가집니다.
다물체 시스템
여러 물체가 있는 시스템은 물체들의 자유도의 합에서 상대 운동에 대한 내부 제약을 뺀 결합 자유도를 가집니다. 여러 연결된 강체를 포함하는 메커니즘 또는 링크는 단일 강체의 자유도보다 많을 수 있습니다. 여기서 자유도라는 용어는 링크의 공간 자세를 지정하는 데 필요한 매개변수의 수를 설명하는 데 사용됩니다. 이것은 또한 로봇의 구성 공간, 작업 공간 및 작업 공간의 맥락에서 정의됩니다.
특정 유형의 링크는 개방 운동학적 체인으로, 일련의 강체 링크가 관절에서 연결됩니다. 관절은 1 DOF(힌지/슬라이딩) 또는 2 DOF(원통형)를 제공할 수 있습니다. 이러한 체인은 로봇공학, 생체역학, 그리고 위성 및 기타 우주 구조물에서 흔히 발생합니다. 인간의 팔은 7개의 자유도를 가진 것으로 간주됩니다. 어깨는 피치, 요, 롤을 제공하고, 팔꿈치는 피치를 허용하며, 손목은 피치, 요, 롤을 허용합니다. 이러한 움직임 중 3개만 있으면 공간의 어떤 지점으로든 손을 이동시키는 데 필요하지만, 사람들은 다른 각도나 방향에서 물건을 잡을 수 있는 능력이 부족할 것입니다. 모든 6개의 물리적 자유도를 제어하는 메커니즘을 가진 로봇(또는 물체)은 홀로노믹이라고 합니다. 총 자유도보다 제어 가능한 자유도가 적은 물체는 비홀로노믹이라고 하며, 총 자유도보다 제어 가능한 자유도가 많은 물체(인간 팔과 같은)는 중복이라고 합니다. 그러나 인간 팔에서는 중복이 아니라는 점을 명심하십시오. 왜냐하면 손목과 어깨라는 2개의 자유도가 롤이라는 동일한 움직임을 나타내며, 완전한 360도를 할 수 없기 때문에 서로를 보완하기 때문입니다.
자유도는 만들 수 있는 다양한 움직임과 같습니다.
이동 로봇공학에서, 자동차형 로봇은 2D 공간에서 어떤 위치와 방향에도 도달할 수 있으므로 자세를 설명하는 데 3개의 자유도가 필요하지만, 어떤 시점에서든 전진 운동과 조향 각도로만 움직일 수 있습니다. 따라서 2개의 제어 자유도와 3개의 표현 자유도를 가집니다. 즉, 비홀로노믹입니다. 3D 공간에서 3-4개의 제어 자유도(전진 운동, 롤, 피치, 그리고 제한적으로 요)를 가진 고정익 항공기도 비홀로노믹입니다. 왜냐하면 직접 위/아래 또는 좌/우로 이동할 수 없기 때문입니다.
기계 시스템에서 자유도를 계산하기 위한 공식과 방법의 요약은 Pennestri, Cavacece, Vita에 의해 제공되었습니다.
전기공학
전기공학에서 자유도는 종종 위상 배열 안테나가 빔 또는 널을 형성할 수 있는 방향의 수를 설명하는 데 사용됩니다. 이것은 배열에 포함된 요소 수보다 1 적은 것과 같습니다. 왜냐하면 하나의 요소가 나머지 안테나 요소 각각을 사용하여 건설적 또는 파괴적 간섭이 적용될 수 있는 기준으로 사용되기 때문입니다. 레이더 실무 및 통신 링크 실무에서 빔 조향은 레이더 응용에 더 널리 사용되고 널 조향은 통신 링크에서 간섭 억제에 더 널리 사용됩니다.
참고 항목
- 짐벌 잠금 – 3차원, 3짐벌 메커니즘에서 1개의 자유도 손실
- 운동학 – 힘을 고려하지 않고 물체의 운동을 설명하는 물리학의 한 분야
- 운동학적 쌍 – 두 물리적 물체 사이의 연결로 상대 운동을 제약함
- XR-2 – 교육용 로봇
참고문헌
- Hale, Layton C. (1999). 정밀 기계 설계를 위한 원리와 기술 (PDF) (PhD). 매사추세츠 공과대학.
- 선박 운동 요약
- J. J. Uicker, G. R. Pennock, and J. E. Shigley, 2003, 기계 및 메커니즘 이론, Oxford University Press, New York.
- J. M. McCarthy and G. S. Soh, 링크의 기하학적 설계, 제2판, Springer 2010
- Pennestrı̀, E.; Cavacece, M.; Vita, L. (2005). “자유도 계산에 관하여: 교육적 관점”. Volume 6: 5th International Conference on Multibody Systems, Nonlinear Dynamics, and Control, Parts A, B, and C. 2005 ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. California, US. pp. 1733–1741.